مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز میگردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آنها که در شاخه حساب انجام میگردد. خواص عمیقتر اعداد در نظریه اعداد صورتی میپذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون میآید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه معلم خصوصی ریاضی در اصفهان اعدادند.
با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی میباشند که از آنها برای نمایش مفهوم کمیتهای پیوسته استفاده شدهاست. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. اینها اولین قدمها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگانها و هشتگانها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، میتوان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم "بی نهایت" بودن را صوری میکنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جوابهای چند جمله ایهای تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجهشان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعهها میشود، که در اعداد کاردینال توصیف گشتهاند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعههای نامتناهی را با هم میدهند.
ساختار
مقالهٔ اصلی: جبر
بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز میدهند که میتواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال میشود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعههایی میپردازد که میتوان آنها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح میپردازد که میتوان آنها را با عملیات حساب بدست آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که میافتد این است که چنین مجموعههای ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز میدهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آنها را داده و لذا در چنین شرایطی میتوان اصول موضعههایی برای آن دسته خاص از مجموعهها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آنها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعههایی که در آن اصول موضوعه صدق میکنند). ازین رو، میتوان گروهها، حلقهها، میدانها و دیگر نظامهای مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را میدهند.
جبر مجرد را میتوان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خطکش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروهها استفاده شد. یکی دیگر از مثالهای مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها میباشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و میتوان از آنها برای مدلسازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص میشود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیقتر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راههای شمارش تعدادی اشیاء میپردازد که آن اشیاء در ساختار داده شدهای صدق میکنند.
فضا
مقالهٔ اصلی: هندسه
مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، بهخصوص هندسه اقلیدسی که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و قضیه معروف فیثاغورس را بهوجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویههای مثلث و توابع مثلثاتی است. در مطالعات مدرن فضا، این ایدهها تعمیم یافته تا به هندسههایی با ابعاد بالاتر، فضاهای غیر-اقلیدسی (که نقش بنیادینی در نسبیت عام دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و آنالیز تابعی توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینهسازی و علوم رایانه دنبال میشوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم کلافهای تاری و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، بهخصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در هندسه جبری توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ایها بحث میشود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب میکند. همچنین در مطالعه بر روی گروههای توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. گروههای لی در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده میشود. توپولوژی در تمام شاخههای متعدد خویش را میتوان به عنوان بزرگترین رشد در ریاضیات سده بیستم تلقی کرد. شاخههای توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعهها، نظریه هوموتوپی و نظریه مورس است. توپولوژی همچنین اکنون شامل حدس اثبات شدهٔ پوانکاره بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است که به کمک رایانهها اثبات شدهاند.
تغییر
مقالهٔ اصلی: حساب دیفرانسیل و انتگرال
فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار میکند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بینهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل بهطور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر میشوند. بسیاری از پدیدهها در طبیعت را میتوان به وسیله سیستمهای دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب بهطور دقیق بررسی میکند که چگونه یک سیستم میتواند پیشبینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ میکند.
ریاضیات کاربردی
مقالهٔ اصلی: ریاضیات کاربردی
ریاضیات کاربردی به دنبال روشهای ریاضیاتی است که اغلب در علوم، مهندسی، بازرگانی و صنعت به کار برده میشوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت ریاضیات کاربردی تخصصی حرفه ای را توصیف میکند که بر روی مسائل عملی تمرکز کردهاست، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدلهای ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزههایی که ریاضیات به کار میرود تمرکز میکند.
در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در ریاضیات محض شدهاند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه میشود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی بهطور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خوردهاس
مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز میگردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آنها که در شاخه حساب انجام میگردد. خواص عمیقتر اعداد در نظریه اعداد صورتی میپذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون میآید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه معلم خصوصی ریاضی در اصفهان اعدادند.
با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی میباشند که از آنها برای نمایش مفهوم کمیتهای پیوسته استفاده شدهاست. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. اینها اولین قدمها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگانها و هشتگانها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، میتوان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم "بی نهایت" بودن را صوری میکنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جوابهای چند جمله ایهای تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجهشان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعهها میشود، که در اعداد کاردینال توصیف گشتهاند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعههای نامتناهی را با هم میدهند.
ساختار
مقالهٔ اصلی: جبر
بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز میدهند که میتواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال میشود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعههایی میپردازد که میتوان آنها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح میپردازد که میتوان آنها را با عملیات حساب بدست آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که میافتد این است که چنین مجموعههای ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز میدهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آنها را داده و لذا در چنین شرایطی میتوان اصول موضعههایی برای آن دسته خاص از مجموعهها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آنها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعههایی که در آن اصول موضوعه صدق میکنند). ازین رو، میتوان گروهها، حلقهها، میدانها و دیگر نظامهای مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را میدهند.
جبر مجرد را میتوان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خطکش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروهها استفاده شد. یکی دیگر از مثالهای مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها میباشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و میتوان از آنها برای مدلسازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص میشود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیقتر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راههای شمارش تعدادی اشیاء میپردازد که آن اشیاء در ساختار داده شدهای صدق میکنند.
فضا
مقالهٔ اصلی: هندسه
مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، بهخصوص هندسه اقلیدسی که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و قضیه معروف فیثاغورس را بهوجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویههای مثلث و توابع مثلثاتی است. در مطالعات مدرن فضا، این ایدهها تعمیم یافته تا به هندسههایی با ابعاد بالاتر، فضاهای غیر-اقلیدسی (که نقش بنیادینی در نسبیت عام دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و آنالیز تابعی توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینهسازی و علوم رایانه دنبال میشوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم کلافهای تاری و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، بهخصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در هندسه جبری توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ایها بحث میشود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب میکند. همچنین در مطالعه بر روی گروههای توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. گروههای لی در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده میشود. توپولوژی در تمام شاخههای متعدد خویش را میتوان به عنوان بزرگترین رشد در ریاضیات سده بیستم تلقی کرد. شاخههای توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعهها، نظریه هوموتوپی و نظریه مورس است. توپولوژی همچنین اکنون شامل حدس اثبات شدهٔ پوانکاره بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است که به کمک رایانهها اثبات شدهاند.
تغییر
مقالهٔ اصلی: حساب دیفرانسیل و انتگرال
فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار میکند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بینهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل بهطور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر میشوند. بسیاری از پدیدهها در طبیعت را میتوان به وسیله سیستمهای دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب بهطور دقیق بررسی میکند که چگونه یک سیستم میتواند پیشبینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ میکند.
ریاضیات کاربردی
مقالهٔ اصلی: ریاضیات کاربردی
ریاضیات کاربردی به دنبال روشهای ریاضیاتی است که اغلب در علوم، مهندسی، بازرگانی و صنعت به کار برده میشوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت ریاضیات کاربردی تخصصی حرفه ای را توصیف میکند که بر روی مسائل عملی تمرکز کردهاست، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدلهای ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزههایی که ریاضیات به کار میرود تمرکز میکند.
در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در ریاضیات محض شدهاند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه میشود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی بهطور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خوردهاس
برای یادگیری موثرتر عالی است